Зовсім недавно ми відкрили для себе нову країну – Алгебру. І уже від початку навчального року подорожуєте містами цієї країни. Нещодавно ми дісталися ще одного міста – ФСМ, що означає Формули скороченого множення.Ось ми уже в місті ФСМ. І одразу ж потрапили на станцію «Історичну»
Винахідником алгебраїчних формул вважається відомий французький математик 15 століття - Франсуа Вієт. До Вієта в алгебрі проводилися тільки прості числові арифметичні дії. Вчений позначив буквами шукані і дані величини і винайшов формули , завдяки яким час, необхідний для обчислення кінцевого результату , помітно скоротилося. Формули,винайдені Вієтом допомогли винахідникам , що користувалися математичними формулами , бачити в них загальні закони і застосовувати їх на практиці,лише замінивши букви в формулі на дане число.Рене Декарт в 16 столітті змінив знаки алгебри на сучасні. В формулах він став використовувати букви латинського алфавіта, і позначив невідомі буквами х,у,z, а довільні дані величини - буквами а,в,с. Такі зміни в позначеннях,що провів Декарт , дуже скоро отримали загальне визнання , так як були легкі для сприйняття в порівнянні з попередніми. Сучасна математика наповнила формули змістом і навчила нас застосовувати їх до конкретних живих явищ і процесів з користю для себе. На сьогоднішій день ми вже не уявляємо, як можна провести деякі розрахунки без формул. Використовуючи математичні формули, ми можемо виразити всі корисні і кількісні співвідношення між фізичними величинами, як в фізиці , так і в геометрії. Але математики категорично проти порівняння своєї науки з фізикою. Вони вважають, що формули,які використовуються в фізиці "скінчені". Тобто, за законами фізики, вносячи до математичної формули різні можливі залежності , які можуть бути між величинами, що вимірюються, обов'язково треба враховувати і позначати дійсні межі, які допускають застосування математичних формул. В той час, як математична формула таких меж не знає. Така відмінність в застосуванні формул ще раз підкреслює, що математику можна вважати не наукою, а мистецтвом. Вона не знала і не знає меж. З легкої руки Вієта нам стало відомо, що всими нашими діями керують математичні або інші формули, і всі наші дії і способи дій можна записати у вигляді формул. Багато формул схожі між собою, але відображають різні процеси. Таке відкриття дало хід розвитку багатьох наукових досліджень в різних областях. Багато формул з математики, фізики, геометрії примушують нас дивуватися, але ж за допомогою них можна обчислити те, що на перший погляд, здається обчислити неможливо взагалі. Формули звершують дива.
Давньогрецький вчений Евклід (3 ст. до н. е.), який створив
посібник з
математики «Начала», першим геометрично вивів
формулу квадрата двочлена (буквенна символіка була введена
пізніше у XVI-XVII ст.)
формулу квадрата двочлена (буквенна символіка була введена
пізніше у XVI-XVII ст.)
Евклід довів таку теорему: Якщо відрізок яким-небудь чином розділити на два відрізки, то площа квадрата, побудованого на всьому відрізку, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з двох відрізків, та подвоєний площі прямокутника, сторонами якого є ці два відрізка.»
Сенс цього виразу у формулі
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2
Геометричне доведення
формули квадрата суми
двох виразів
1. Даний відрізок поділимо на два відрізки довжиною a та b.
2. Побудуємо квадрат зі стороною a+b
3. Розіб’ємо даний квадрат так, щоб утворилося два
квадрати довжини сторін яких a та b відповідно та два прямокутники із сторонами a та b.
4. Знайдемо площу великого квадрата, сторона якого дорівнює (a+ b): маємо
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2
4. Знайдемо площу великого квадрата, сторона якого дорівнює (a+ b): маємо
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2
Геометричне доведення формули різниця квадратів
S-площа квадрата зі стороною a.
По малюнку бачимо:
S=S1+S2+2S3
таким чином, маємо
a2=b2+(a-b)2+2(a-b)b
a2-b2=(a-b)(a-b+2b)
a2-b2=(a-b)(a+b)
a2-b2=(a-b)(a+b)
Геометричне доведення формули квадрата суми трьох виразів
Аналогічно до попередніх доведень за допомогою малюнка:
(а + b + с)2 = а2 + b2 + с2 +
+ 2аb + 2ас + 2bс
Задачі для дослідження властивостей цілих чисел з використанням розкладу на множники.
1. Чи вірно, що при кожному натуральному значенні n:
а) (n + 1)2 - (n - 1)2 ділиться на 4;
б) (3n + 2)2 - (3n - 2)2 ділиться на 24;
в) (5n + 3)2 - (5n - 3)2 ділиться на 60?
Дослідження.
а) Перетворимо даний вираз:
(n + 1)2 - (n - 1)2 = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n∙2 = 4n.
Отриманий вираз кратний 4, тобто ділиться на 4.
б)(3n + 2)2 - (3n - 2)2 = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n∙4 = 24n.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.
в)(5n + 3)2 - (5n - 3)2 = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 - 5n + 3) = 10n∙6 = 60n.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.
2. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?
Дослідження.
Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми:
(a + b)2 = а2 + 2аb + b2 = (а2 + b2) + 2аb.
Оскільки а і b - числа додатні, величина 2аb - також число додатне, отже, квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів.
3. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?
Дослідження.
Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх суми:
(n + m)2 = n2 + 2nm + m2 = 2nm + (n2 + m2).
Величина m2 + n2 додатна при будь-яких значеннях n і m, таким чином, квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку.
4. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4?
Дослідження.
Нехай дано два непарних числа: 2а + 1 і 2b + 1. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 1)2 - (2b + 1)2 = (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 - 2b - 1) =
= (2а + 2b+ +2)(2а - 2b) = 2(а + b + 1) ∙2(а - b) = 4(а + b + 1)(а - b).
Отриманий вираз кратний 4, отже, різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.
5. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8?
Дослідження.
Нехай дано два послідовних непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 3)2 - (2а + 1)2 = (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) =
= (4а + 4)∙2 = 4 ∙2(а + 1) = 8(а + 1).
Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.
6. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться?
Дослідження.
Дано два послідовних парних числа: 2а і 2а + 2.
Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 2)2 - (2а)2 = (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) =
= (4а + 2)∙2 = 2(2а + 1) ∙ 2 = 4(2а + 1).
Як бачимо, різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться, оскільки 2а + 1 - число непарне.
7. Чи вірно, що сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?
Дослідження.
Нехай дано два послідовних цілих числа а і а + 1.
Знайдемо їх суму:
а + а + 1 = 2а + 1.
Знайдемо різницю їх квадратів:
(а + 1)2 - а2 = (а + 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.
Як бачимо, сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.
8. Чи вірно, що непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел?
Дослідження.
Будь-яке непарне число можна представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:
2а + 1 = 2а + 1 + а2 - а2 = (а2 + 2а + 1) - а2 = (а + 1)2 - а2.
Як бачимо, непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.
9. Чи вірно, що квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1?
Дослідження.
Нехай дано непарне число 2а + 1.
Квадрат цього числа дорівнює:
(2а + 1)2 = 4а2 + 4а + 1 = 4а(а + 1) + 1;
число а(а + 1) - парне при будь-яких значеннях а, тоді число 4а(а +1) - кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1.
10. Чи вірно, якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються однаковими цифрами?
Дослідження.
Якщо квадрати двох натуральних чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.
Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді:
а2 - b2 = (а + b) (а - b).
Як бачимо, а2 - b2 ділиться на 10, оскільки а + b ділиться на 10 . Отже квадрати даних чисел закінчуються однаковими цифрами.
11.Будь-яке натуральне число ,яке закінчується цифрою 5 , можна записати у вигляді 10а+5. Наприклад 25 = 2·10 + 5. Доведемо, для
того,щоб обчислити квадрат такого числа, можна до
а(а+1) дописати справа 25. Наприклад, 25² = 625,
так як так як 2 ·(2 + 1) = 6.
Дослідження.
= a (a +1) ·100 + 25.
11.Будь-яке натуральне число ,яке закінчується цифрою 5 , можна записати у вигляді 10а+5. Наприклад 25 = 2·10 + 5. Доведемо, для
того,щоб обчислити квадрат такого числа, можна до
а(а+1) дописати справа 25. Наприклад, 25² = 625,
так як так як 2 ·(2 + 1) = 6.
Дослідження.
(10а + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a +1)+25 =
= a (a +1) ·100 + 25.
